Nedogledni (ubježni) i izbježni pravac perspektivne kolineacije

Kao što možemo zaključiti iz primjera na slici 18, beskonačno daleke točke ravnine preslikavaju se u točke u konačnosti. Budući da sve beskonačno daleke točke ravnine leže na njenom beskonačno dalekom pravcu, zaključujemo da će na slici tog pravca (preslikavanje je kolinearno) ležati slike svih beskonačno dalekih točaka ravnine.

Neka je n1∞ oznaka za beskonačno daleki pravac u polju s indeksom 1. Konstruirat ćemo sada perspektivno kolinearnu sliku tog pravca. Na slici 19 zadana je perspektivna kolineacija (S, o, A1, A2).

Slika 19

 1. korak: Izaberimo po volji dva paralelna pravca a1 i b1 koji se sijeku u beskonačno dalekoj točki N1∞.

2. korak: Odredimo slike pravaca a1 i b1 (kao na slici 18, ali polazeći iz polja indeksa 1). Dobiveni pravci a2 i b2 sijeku se u točki N2, slici beskonačno daleke točke N1∞.

3. korak: Pravac n2, perspektivno kolinearna slika pravca n1∞, prolazi točkom N2 i sjecištem pravca n1∞ s osi. Budući da je n1∞ beskonačno daleki pravac, njegovo sjecište s osi je beskonačno daleka točka. Stoga je pravac n2 paralelan s osi. Pravac n2 nazivamo nedoglednim ili ubježnim pravcem perspektivne kolineacije.

4. korak: Točku N1∞ odabrali smo po volji, kao beskonačno daleku točku pravca a1 ili b1. Pomičući točku G, mijenjajte smjer pravca b1, tj. točku N1∞. Uočite da slike svih beskonačno dalekih točaka ravnine leže na nedoglednom pravcu n2.
Pomičite sada odredbene točke kolineacije (A1 ili A2) i uočite da je nedogledni pravac paralelan s osi u svakoj perspektivnoj kolineaciji.

  • Perspektivno kolinearnu sliku beskonačno dalekog pravca nazivamo nedoglednim ili ubježnim pravcem perspektivne kolineacije.

    S druge strane, budući da je perspektivna kolineacija bijektivno preslikavanje, bit će beskonačno daleki pravac, kao podskup njezine kodomene (polja s indeksom 2), slika nekog pravca u konačnosti, tj. u perspektivnoj kolineaciji postoji pravac čije se sve točke preslikavaju u beskonačno daleke.

    Neka je sada i2∞ oznaka za beskonačno daleki pravac ravnine u polju s indeksom 2. Konstruirat ćemo perspektivno kolinearnu sliku tog pravca. Na slici 20 zadana je perspektivna kolineacija (S, o, A1, A2).

    Slika 20

    		 1. korak: Izaberimo po volji dva paralelna pravca a2 i b2 koji se sijeku u beskonačno dalekoj točki I2∞.

    2. korak: Odredimo, kao na slici 18, pravce a1 i b1 koji su pridruženi pravcima a2 i b2. Njihovo sjecište I1 pridruženo je beskonačno dalekoj točki I2∞.

    3. korak: Pravac i1, perspektivno kolinearno pridružen pravcu i2∞, prolazi točkom I1 i paralelan je s osi o. Pravac i1 nazivamo izbježnim pravcem perspektivne kolineacije.

    4. korak: Točku I2∞ odabrali smo po volji, kao beskonačno daleku točku pravca a2 ili b2. Pomičući točku G, mijenjajte smjer pravca b2, tj. točku I2∞. Uočite da sve točke pridružene beskonačno dalekim točkama ravnine leže na izbježnom pravcu i1.
    Pomičite sada odredbene točke kolineacije (A1 ili A2) i uočite da je izbježni pravac paralelan s osi u svakoj perspektivnoj kolineaciji.





  • Pravac ravnine koji se nekom perspektivnom kolineacijom preslikava u beskonačno daleki pravac nazivamo izbježnim pravcem te perspektivne kolineacije.

    Sonja Gorjanc i Ema Jurkin - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom