Perspektivno kolinearna slika kružnice

Što je perspektivno kolinearna slika neke konike?
Konika je skup od ∞1 neprekinuto povezanih točaka kojeg svaki pravac njezine ravnine siječe u dvije točke. Prilikom perspektivno kolinearnog preslikavanja neprekinuta povezanost točaka ostati će sačuvana pa će slika konike biti neka krivulja. Pored toga, svaki pravac u polju te krivulje je slika nekog pravca iz polja konike koji tu koniku siječe u dvije točke (realne i različite, realne koje su pale zajedno ili konjugirano imaginarne). Budući da će, zbog kolinearnosti, ta sjecišta ostati sačuvana zaključujemo da je perspektivno kolinearna slika konike također konika.

Što je perspektivno kolinearna slika neke kružnice? To je svakako neka konika čiji će tip ovisiti o njezinim sjecištima s beskonačno dalekim pravcem. Budući da je beskonačno daleki pravac slika izbježnog pravca možemo zaključiti sljedeće:

  • Ako kružnica ne siječe realno izbježni pravac, njezina perspektivno kolinearna slika je elipsa.
  • Ako kružnica dodiruje izbježni pravac, njezina perspektivno kolinearna slika je parabola.
  • Ako kružnica siječe izbježni pravac, njezina perspektivno kolinearna slika je hiperbola.

    Na slici 24 zadana je perspektivna kolineacija (S, o, C1, C2) i kružnica c1 sa središtem u točki C1. Izvedite redom korake istaknute na slici i proučite odgovarajuće komentare.

    Slika 24

    		 1. korak: Perspektivno kolinearnu sliku kružnice c1 određujemo tako da konstruiramo slike točaka koje leže na njoj. Na slici je prikazana konstrukcija točke T2, slike točke T1.
    U smjeru obrnutom od kretanja kazaljke sata, pomičite točku T1. Dakle, slika zadane kružnice, u zadanom preslikavanju, je elipsa.

    2. korak: Tangenta kružnice c1 u njezinoj točki T1 preslikava se u tangentu elipse c2 s diralištem u točki T2. Zašto?
    Pomičite točku T1 i uočite da to vrijedi za svaki par pridruženih točaka kružnice i elipse.

    3. korak: Pomicanje točke A1 omogućuje promjenu radijusa kružnice. Mijenjajte radijus kružnice i uočite da dva sjecišta kružnice i njezine slike leže na osi kolineacije o.
    Da li je konika c2 uvijek elipsa?

    4. korak: Pravac i1 je izbježni pravac zadane perspektivne kolineacije. Nastavite pomicati točku A1 i uočite točnost gore navedenih tvrdnji.
    Postavite kružnicu c1 u takav položaj da njezina perspektivno kolinearna slika c2 bude parabola.



    Budući da perspektivna kolineacija ne čuva paralelnost pravaca niti polovišta dužina, promjeri i središte kružnice NEĆE se preslikati u promjere i središte njezine perspektivno kolinearne slike.

    Sonja Gorjanc i Ema Jurkin - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom