Krivulje 2. stupnja - KONIKE
U okviru našeg predmeta bavit ćemo se uglavnom ravninskim krivuljama 2. reda koje nazivamo konikama i o kojima ste već dosta učili tijekom ranijeg školovanja.
To su elipse (koje kao poseban slučaj sadrže kružnice), hiperbole i parabole.
|
Svaki pravac ravnine neke konike ima s tom konikom 2 zajedničke točke.
Ako su te točke realne i različite, kažemo da je pravac sekanta konike. Ako se dvije zajedničke točke pravca i konike podudaraju, kažemo da je on njezina tangenta, a ako su zajedničke točke konjugirano imaginarne onda kažemo da je pravac pasanta konike. Želimo li izbjeći spominjanje konjugirano imaginarnih točaka (koje ne možemo grafički prikazati) možemo reći da je sekanta pravac koji koniku siječe u dvije točke, tangenta ju dodiruje u jednoj točki, a pasanta nema s konikom zajedničkih točaka. |
Slika 5
Beskonačno daleki pravac ravnine na kojem leže realne beskonačno daleke točke svih ostalih realnih pravaca ravnine također ima dvije zajedničke točke sa svakom konikom svoje ravnine. Konike se i dijele na gore navedene tipove upravo prema vrsti njihovih sjecišta s beskonačno dalekim pravcem:
Hiperbole su konike koje beskonačno daleki pravac njihove ravnine siječe u dvije realne i različite točke, tj. beskonačno daleki pravac je sekanta hiperbole.
Asimptote hiperbole su njezine tangente u tim beskonačno dalekim točkama.
Parabole su konike koje beskonačno daleki pravac njihove ravnine dodiruje u jednoj točki, tj. beskonačno daleki pravac je tangenta svake parabole.
Beskonačno daleko diralište leži na osi parabole.
Elipse su konike koje na beskonačno dalekom pravacu imaju par konjugirano imaginarnih točaka, tj. beskonačno daleki pravac je pasanta elipse.
Kružnica je elipsa koja prolazi posebnim parom konjugirano imaginarnih točaka beskonačno dalekog pravca.
Ta imaginarna sjecišta kružnice i beskonačno dalekog pravca njezine ravnine nazivamo apsolutnim točkama ravnine.
Pomaknite točke X na slici 6.
Slika 6
Slika 6 je samo ilustracija gore navedenih svojstava konika budući da se realni beskonačno daleki elementi ne mogu nacrtati, iako se relativno jednostavno mogu zamisliti. Za razliku od njih, imaginarne elemente teško je i zamisliti u realnoj ravnini. Zašto ih onda ovdje uopće spominjemo? Zato što imaginarni elementi utječu na osobine realnih dijelova krivulja, a ti nas dijelovi zanimaju. Npr. odgovorite na pitanje: Zašto dvije kružnice mogu imati najviše 2 realne zajedničke točke?
Slika 7
Osim po redu, ravninske algebarske krivulje razvrstavaju se i po razredu.
Razred ravninske algebarske krivulje jednak je broju njezinih tangenata koje prolaze bilo kojom točkom ravnine krivulje.
Isto kao i presječne točke pravca i krivulje, tangente iz neke točka na krivulju mogu biti realne ili u parovima konjugirano imaginarne. Imaginarne je pravce možda i teže zamisliti nego imaginarne točke. Stoga ćemo ovdje samo konstatirati da su konike krivulje 2. razreda, tj. da je iz svake točke njezine ravnine moguće na koniku postaviti 2 tangente koje su realne i različite ako točka leži u eksterioru konike, realne i poklopljene ako je točka na konici, te konjugirano imaginarne ako točka leži u interioru konike. Za krivulje kojima su red i razred jednaki kažemo da imaju stupanj koji je jednak njihovu redu i razredu. Stoga su konike krivulje 2. stupnja.
Pomičite točku X na slikama 8 i uočite područja točaka iz kojih su tangente na koniku realne ili pak konjugirano imaginarne. Na granici tih područja nalaze se točke konike u kojima je tangenta jedinstvena, a mi ju, u smislu razreda konike, dva puta brojimo.
Slika 8
Na pravim konikama, tj. na elipsama, parabolama i hiperbolama, nema dvostrukih točaka. Naime, izraz (n−1)(n−2)/2 poprima vrijednost 0 za n=2. Ako dvostruka točka postoji, konika se raspada na 2 pravca koji mogu biti realni i različiti, realni koji se podudaraju ili par konjugirano imaginarnih pravaca koji se sijeku u jednoj realnoj točki.
3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom