Ravninske algebarske krivulje

Ravninska krivulja je skup od _∞¹ neprekinuto povezanih točaka (jednodimenzionalni skup) koje leže u istoj ravnini.
Načini neprekinutog povezivanja točaka vrlo su raznovrsni, a mi ćemo se ovdje baviti isključivo onim krivuljama koje su definirane nekom algebarskom jednadžbom.

Ravninska algebarska krivulja n-tog reda je skup svih točaka T(x,y) čije koordinate zadovoljavaju algebarsku jednadžbu
f ⁿ(x,y)=0, gdje je f ⁿ(x,y) polinom n-tog stupnja.
Na primjer, jednadžbom 2x²y+y³−2x²−3x−33y+32=0 zadana je plava krivulja 3. reda na slici 1.

Budući da sustav od dvije algebarske jednadžbe s dvije nepoznanice stupnjeva n i m ima n∗m rješenja, dvije algebarske ravninske krivulje kⁿ i k^m imaju n∗m zajedničkih točaka koje nazivamo njihovim sjecištima. Te točke mogu biti konjugirano imaginarne, takve uvijek dolaze u paru. Mogu se podudarati, takve su uvijek realne i brojimo ih kao više sjecišta.

Na slici 1 prikazano je 6 realnih i različitih sjecišta krivulje 3. reda i kružnice zadane jednadžbom x²+y²−25=0.

Slika 1

Budući da je pravac krivulja 1. reda (zadan je linearnom algebarskom jednadžbom ax+by+c=0), broj njegovih sjecišta s ravninskom algebarskom krivuljom n-tog reda jednak je n. Mi ćemo, u okviru našeg geometrijskog predmeta, upravo tu činjenicu koristiti pri definiciji reda:

Red ravninske algebarske krivulje jednak je broju njezinih sjecišta s bilo kojim pravcem njezine ravnine.

Kao što smo već napomenuli, ta sjecišta mogu biti konjugirano imaginarna pa ih ne možemo grafički prikazati u realnoj ravnini. Mogu biti realna, ali padaju u istu točku: tada je ta točka ili dvostruka točka krivulje ili je pravac tangenta krivulje.

Slika 2

Algebarske krivulje su skupovi od ∞¹ neprekinuto povezanih točaka. Ako neki pravac prolazi kroz dvije neizmjerno blize realne točke krivulje, kažemo da je on njezina tangenta. Točku u kojoj se nalaze ta dva neizmjerno bliza sjecišta tangente i krivulje, nazivamo diralištem te tangente.
Pravac koji prolazi diralištem i okomit je na tangentu nazivamo normalom krivulje u tom diralištu.
Ako krivulja realno siječe beskonačno daleki pravac, tada njezinu tangentu u tom beskonačno dalekom diralištu nazivamo asimptotom.

Slika 3

Točke krivulje u kojima postoji jedinstvena tangenta, nazivamo regularnim točkama krivulje. Takve su gotovo sve točke algebarske krivulje. Pored regularnih, na algebarskim krivuljama mogu postojati i singularne točke u kojima krivulja ima više tangenata. To su na primjer dvostruke točke u kojima krivulja samu sebe siječe i ima dvije tangente. Broj takvih točaka algebarske krivulje je ograničen: ravninska algebrska krivulja n-tog reda može imati najviše (n−1)(n−2)/2 dvostrukih točaka. Ako krivulja reda n ima više od dozvoljenog broja dvostrukih točaka, ona će se raspasti na krivulje nižih redova tako da zbroj redova svih krivulja u raspadu bude n.

Na slici 4 prikazana je jedna prava (neraspadnuta) krivulja 4. reda s 3 dvostruke točke, te četiri slučaja raspada krivulje 4. reda na krivulje nižih redova.

Slika 4

Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom