Perspektivno afina slika pravca

Na slici 26 zadan je afinitet (o, X1, X2) i pravac a1. Treba konstruirati pravac a2, afinu sliku pravca a1.

Slika 26

 1. korak: Na pravcu a1 odabrana je točka A1 i konstruirana je njezina afina slika A2 (kao na slici 25).

2. korak: Pravac a2, afina slika pravca a1, prolazi točkom A1 i sjecištem pravca a1 i osi afinosti o.
- Pomičite točku A1 i uočite da slika a2 ne ovisi o njezinu izboru.
- Mijenjajte položaj odredbenih točaka X1 i X2 u odnosu na os, kao i njihov položaj prema točki A1. Promatrajte promjene pravca a2.

- Pomičući točku Y mijenjajte položaj pravca a1.
Uočite da konstrukcija ne ovisi o njegovu položaju, tj. ta je konstrukcija dobra za bilo koji položaj pravca a1.
- Postavite točku Y u položaj Z. Sada je pravac a1 paralelan s osi. U kakvom je položaju pravac a2 i zašto?

- Pomičite točku X i mijenjajte smjer zraka afinosti (položaj beskonačno dalekog središta). Uočite da je konstrukcija valjana za svaki afinitet.






Za svaki afinitet, njegovo inverzno preslikavanje također je afinitet. Stoga su i principi konstrukcije za afino preslikavanje polja s indeksom 1 u polje s indeksom 2 isti kao i za preslikavanje iz polja indeksa 1 u polje indeksa 2.
U sljedeća dva primjera koristit ćemo to svojstvo.

Na slici 27 zadan je afinitet (o, X1, X2) i par ukrštenih pravaca a2, b2 sa sjecištem u točki O2. Treba konstruirati njihove afine slike a1 i b1.

Slika 27

 1. korak: Konstruirana je točka O1, afina slika sjecišta O2.

2. korak: Pravci a1 i b1 prolaze točkom O1, a s pravcima a2 i b2 sijeku se na osi afinosti.
- Pomičući točku O2 mijenjajte položaj pravaca a2 i b2 te uočite da je konstrukcija valjana za svaki par ukrštenih pravaca.


- Uočite da je kut između pravaca a1 i b1 različit od kuta između pravaca a2 i b2.


  • U općem slučaju, perspektivna afinost NE čuva veličinu kuta između pravaca, tj. to preslikavanje nije konformno.










    • Na slici 28 zadan je afinitet (o, X1, X2) i par paralelnih pravaca a2, b2. Treba konstruirati njihove afine slike a1 i b1.

    Slika 28

    		 1. korak: Odabrana je točka A2∈a2 i pomoću njene afine slike A1 konstruiran je pravac a1, afina slika pravca a2 (kao na slici 26).

    2. korak: Budući da je središte afiniteta beskonačno daleka točka kojom prolaze sve zrake afinosti, biti će i beskonačno daleki pravac neke ravnine zraka svakog afiniteta u toj ravnini. Zato se u svakom afinitetu beskonačno daleke točke preslikavaju u beskonačno daleke točke.
    Dakle, točka O2∞ (beskonačno daleka točka pravca a2) zadanim se afinitetom preslikava u točku O1∞ - beskonačno daleku točku pravca a1. Stoga je pravac b1 paralelan s pravcem a1.

    - Provjerite konstrukciju preko para pridruženih točaka B1∈b1, B2∈b2.

    - Pomičite točku H i mijenjajte smjer pravaca a2 i b2.


  • Perspektivna afinost čuva paralelnost pravaca, tj.
    paralelni pravci preslikavaju se u paralelne pravce.






    • Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom