Perspektivno afina slika mnogokuta
Afina slika mnogokuta je mnogokut s istim brojem stranica i vrhova. Budući da afinitet ne čuva udaljenosti točaka niti veličinu kuta između pravaca, pravilni se mnogokuti neće preslikavati u pravilne. No, budući da afnitet čuva paralelnost pravaca kao i djelišne omjere dužina, sva ona svojstva mnogokuta koja su vezana uz te relacije, ostat će sačuvana prilikom afinog preslikavanja.
Na slici 30 zadan je afinitet (o, X1, X2) i jednakostranični trokut A1B1C1. Treba konstruirati njegovu afinu sliku, Δ A2B2C2.
|
Slika 30
|
|
- Afinu sliku nekog mnogokuta redovito konstruiramo tako da preko para odredbenih točaka konstruiramo sliku jednog njegovog vrha (kao na slici 25).
- Slike ostalih vrhova mnogokuta konstruiramo na temelju svojstava afiniteta: pravci na kojima leže pridružene stranice sijeku se na osi, a parovi pridruženih točaka leže na zrakama afinosti.
- Afina slika jednakostraničnog trokuta A1B1C1 je raznostraničan trokut A2B2C2.
- Na ovoj slici možete pomicati točke A1 i C1 te time mijenjati položaj i veličinu Δ A1B1C1. Dovodite ga u različite položaje prema odredbenim elementima afiniteta i promatrajte kako se mijenja njegova afina slika.
- Od četiri karakteristične točke trokuta, samo je težište invarijanta afinog preslikavanja. Zašto?
- Na slici možete pomicati i odredbene točaka X1 i X2 te tako mijenjati zadani afinitet. Dovedite ih u različite položaje i uočite stalnost konstrukcije.
|
Na slici 31 zadan je afinitet (o, X1, X2) i kvadrat A1B1C1D1. Treba konstruirati njegovu afinu sliku, paralelogram A2B2C2D2.
|
Slika 31
|
|
- Kao i u prethodnom zadatku, prvo je konstruirana točka A2, a zatim, na temelju svojstava afiniteta, i slike preostalih vrhova kvadrata.
- Dobivena slika A2B2C2D2 je paralelogram. Zašto?
Na slici možete pomicati točke A1 i D1 te mijenjati položaj i veličinu početnog kvadrata. Dovodite ga u različite položaje prema odredbenim elementima afiniteta i promatrajte kako se mijenja njegova afina slika.
Također možete pomicati i odredbene točaka X1 i X2 te tako mijenjati zadani afinitet. Postavljajte i njih u različite položaje.
- Kada će se kvadrat preslikati u pravokutnik?
Konstruirana je kružnica kojoj je središte na osi afinosti, a prolazi sjecištima osi i pravaca A1B1 odnosno A1D1. Ta kružnica prolazi i točkom A1. Zašto?
Postavite li točku A2 na tu kružnicu (pomicanjem npr. točke D1 ili X2), afina slika kvadrata A1B1C1D1 bit će pravokutnik. Zašto? (Talesov teorem)
Da li će u tom slučaju i ostali parovi pridruženih vrhova ležati na takvim kružnicama?
- Sjecište dijagonala kvadrata preslikava se u sjecište dijagonala afino pridruženog paralelograma. Zašto?
|
Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom
|