Perspektivno afina slika kružnice
Zbog kolinearnosti afinog preslikavanja, svaka će se krivulja 2. reda preslikati u krivulju 2. reda. Pri tom će se sekante, tangente i pasante te krivulje preslikati u sekante, tangente i pasante njezine slike. Budući da se afinim preslikavanjem beskonačno daleke točke preslikavaju u beskonačno daleke, lako se zaključuje sljedeće:
Svakim se afinitetom hiperbola preslikava u hiperbolu, parabola u parabolu, a elipsa u elipsu.
Zbog toga klasifikaciju danu u 1.2. nazivamo afinom klasifikacijom konika.
Činjenica da afinitet čuva paralelnost i djelišne omjere dužina povlači sljedeće svojstvo:
Središte i promjeri konike kao i njihova konjugiranost invarijante su afinog preslikavanja.
Odavde neposredno slijede sljedeća svojstva afine slike kružnice:
Afina slika kružnice je elipsa.
Središte kružnice preslikava se u središte njezine afine slike.
Svaki par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjera njezine afine slike.
Na slici 32 zadan je afinitet (o, S1, S2), pri čemi je S1 središte kružnice c1. Treba konstruirati elipsu c2, afinu sliku dane kružnice c1.
Slika 32
|
|
1. korak: Odaberemo bilo koji par ortogonalnih promjera kružnice, M1N1 i P1Q1
2. korak: Dužine M2N2 i P2Q2 čine par konjugiranih promjera elipse c2.
3. korak: Slike tangenata u krajnjim točkama tih promjera određuju paralelogram opisan elipsi c2.
4. korak: Elipsa c2 je afina slika kružnice c1.
- Pomičite točku M1 i uočite da navedena svojstva ne ovise o izboru početnog para ortogonalnih promjera kružnice.
- Na slici možete pomicati i točku S2 te tako mijenjati zadani afinitet. Uočite da navedena svojstva vrijede za svaki afinitet.
- Pomičući točku X možete mijenjati polumjer kružnice. Promatrajte kako se mijenja afina slika kružnice, ako mijenjate njezin polumjer.
|
Sonja Gorjanc, Ema Jurkin - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom
|