Valjci 2. stupnja

  • Valjci 2. stupnja su algebarske pravčaste plohe čije su izvodnice spojnice točaka neke prave konike k s beskonačno dalekim vrhom \(\mathbf{V}^\infty\).
    Sve izvodnice valjka međusobno su paralelne.

    Presjeci valjka 2. stupnja

    Razmatranja, koja smo proveli za presjeke stošca, možemo dobrim dijelom primijeniti kod valjka.
    Jasno je da svaka ravnina prostora siječe valjak 2. stupnja po nekoj konici, koja je raspadnuta ako ravnina prolazi njegovim vrhom, a neraspadnuta ako ne prolazi tim vrhom.

    1. Ravnina presjeka sadrži beskonačno daleki vrh valjka

    Ako ravnina, koja nije beskonačno daleka ravnina prostora, prolazi vrhom valjka (ako je paralelna s njegovim izvodnicama) ona ga siječe po dvije izvodnice koje mogu biti:

  • par realnih paralelnih pravaca,

  • jedan realni dvostruki pravac u konačnosti,

  • par konjugirano imaginarnih pravaca s realnim sjecištem u beskonačnosti.


    dvije realne paralelne izvodnice
    dvije poklopljene izvodnice - dirna ravnina
    dvije imaginarne paralelne izvodnice

    desni klik za pokretanje animacije



    Međutim, budući da je vrh valjka beskonačno daleka točka, i beskonačno daleka ravnina prostora presjeći će ga po izvodnicama.
    Prema vrsti svojih beskonačno dalekih izvodnica valjci se dijele na:

  • hiperboličke (dvije realne i različite beskonačno daleke izvodnice)

  • paraboličke (jedna dvostruka realna beskonačno daleka izvodnica)

  • eliptičke (par imaginarnih beskonačno dalekih izvodnica).


    hiperbolički valjak
    parabolički valjak

    eliptički valjak


    2. Ravnina presjeka NE sadrži vrh valjka

    Svaka ravnina koja nije paralelna s izvodnicama valjka 2. stupnja siječe taj valjak po pravoj (neraspadnutoj) konici.

    Tip tog presjeka (hiperbola, parabola ili elipsa) ovisi o tipu valjka.

    Ravnina koja nije paralelna s izvodnicama valjka siječe taj valjak po:

  • hiperboli, ako je valjak hiperbolički,

  • paraboli, ako je valjak parabolički,

  • elipsi, ako je valjak eliptički.


    Presjek hiperboličkog valjka je HIPERBOLA.
    Presjek paraboličkog valjka je PARABOLA.
    Presjek eliptičkog valjka je ELIPSA.

    desni klik za pokretanje animacije



    Tangencijalna ravnina valjka 2. stupnja

    Sve tangencijalne ravnine valjka prolaze njegovim beskonačno dalekim vrhom, tj. paralelne su s njegovim izvodnicama.

  • Beskonačno daleki vrh je singularna točka valjka.

    Sve ostale točke valjka su regularne, tj. u svakoj od njih postoji jedinstvena tangencijalna ravnina.

  • Svaka tangencijalna ravnina valjka dodiruje taj valjak duž jedne izvodnice.

  • Sve točke koje leže na istoj izvodnici valjka imaju istu tangencijalnu ravninu.

  • Tangencijalna ravnina valjka u bilo kojoj njegovoj regularnoj točki određena je izvodnicom valjka koja prolazi tom točkom i bilo kojom tangentom valjka u toj točki.

    • desni klik za pokretanje animacije
  • Svakom točkom prostora, koja ne leži na valjku, prolaze dvije tangencijalne ravnine valjka.

    Te ravnine mogu biti realne ili imaginarne.

    Princip konstrukcije tih ravnina dan je u animaciji desno.








    • Kliknite na sliku i pokrenite animaciju.


  • Tangenta u nekoj točki presječne krivulje valjka i ravnine je presječnica tangencijalne ravnine valjka u toj točki i ravnine presjeka.

    Rotacijski valjak

    U okviru našeg predmeta konstruktivno ćemo obrađivati isključivo rotacijske valjke.
    Takav valjak nastaje rotacijom pravca koji je paralelan s osi rotacije.
    Sve ravnine okomite na os rotacijske plohe, sijeku tu plohu po kružnicama.

    Valjak ćemo uglavnom zadavati jednim njegovim kružnim presjekom, kojeg nazivamo kružnicom baze, i visinom.
    Onu točku izvodnice koja leži na kružnici baze nazivamo nožištem te izvodnice.

    Konstrukcijski zadaci

  • Probodišta pravca i valjka. (PRIMJER)
  • Tangencijalna ravnina u nekoj točki valjka. (PRIMJER)
  • Tangencijalne ravnine kroz točku koja ne leži na valjku. (PRIMJER1, PRIMJER2)


    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu