Algebarske plohe

Algebarska ploha n-toga reda je skup točaka euklidskog prostora čije koordinate \( (x,y,z)\) zadovoljavaju neku algebarsku jednadžbu

\( F^n(x,y,z)=0\), gdje je \( F^n(x,y,z)\) polinom n-tog stupnja.



Algebarska ploha 1. reda je ravnina. Zadana je linearnom algebarskom jednadžbom \( a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0, \, a,b,c\in\mathbb R\).

Pravac se u prostoru može zadati s dvije linearne algebarske jednadžbe.
Naime, možemo ga promatrati kao presječnicu dviju ravnina, pa je to skup točaka čije koordinate zadovoljavaju dvije linearne algebarske jednadžbe.

Budući da tri algebarske jednadžbe, stupnjeva n, 1 i 1, imaju općenito n rješenja, mi ćemo u okviru našeg geometrijskog predmeta red algebarske plohe definirati na sljedeći način:

  • Red algebarske plohe jednak je broju njezinih sjecišta s bilo kojim pravcem prostora koji ne leži na toj plohi.

    Ta sjecišta mogu biti realna i različita, dva ili više realnih sjecišta mogu pasti u istu točku, a mogu u parovima biti i konjugirano imaginarna.
    Primjerice, pravac koji je tangenta plohe, imati će s plohom dvije zajedničke točke u njihovom diralištu.

    Skup točaka koje leže na nekoj plohi i u nekoj ravnini nazivamo ravninskim presjekom plohe.
    Svaki ravninski presjek neke algebarske plohe je ravninska algebarska krivulja.
    Na temelju definicija za redove algebarskih ploha i ravninskih algebarskih krivulja zaključujemo sljedeće:

  • Red algebarske plohe jednak je redu bilo kojeg njezinog ravninskog presjeka.


    Pojam koji je dualan redu algebarske plohe je razred algebarske plohe. Definiramo ga na sljedeći način:

  • Razred algebarske plohe jednak je broju njezinih tangencijalnih ravnina kroz bilo koji pravac prostora koji ne leži na toj plohi.

    Ako su red i razred neke plohe jednaki n, kažemo da je ta ploha n–tog stupnja.

    Na primjer, sfera je ploha 2. stupnja.
  • Svaki pravac prostora siječe sferu u dvije točke koje mogu biti realne i različite, realne i poklopljene (ako je pravac tangenta sfere) ili imaginarne.
  • Svakim pravcem prostora prolaze dvije tangencijalne ravnine sfere. One mogu biti realne i različite (ako pravac nema realnih sjecišta sa sferom), mogu se poklapati (ako je pravac tangenta sfere), a mogu biti i konjugirano imaginarne (ako pravac siječe sferu u dvije realne različite točke).





    Primjeri algebarskih ploha reda većeg od 2

    Loading sample geometry.
    \(z \left(x^2+y^2\right)-(3 x^2+y^2)=0\)
    Plückerov konoid – pravčasta ploha 3. stupnja

    Loading sample geometry.
    \( x^2+y^2 z=0\)
    Whitneyjev kišobran – pravčasta ploha 3. stupnja











    \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-8 \left(5 x^2+5 y^2-3 z^2\right)+144=0 \)
    Torus – ploha 4. reda     		\( x^4+y^4+z^4-(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}=0\)
    Goursatova ploha – ploha 4. reda



    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu