Ravnina u Mongeovom projiciranju

Tragovi ravnine

Pored tri koordinatne ravnine (Π1, Π2, Π3), koje su ravnine projekcije,
ističemo još tri vrste ravnina koje su u posebnom položaju za Mongeovo projiciranje. To su:

  • 1. projicirajuća ravnina – svaka ravnina okomita na Π1,
  • 2. projicirajuća ravnina – svaka ravnina okomita na Π2,
  • 3. projicirajuća ravnina – svaka ravnina okomita na Π3.

    Ako neka ravnina nije projicirajuća, ona se u tlocrtu, nacrtu i bokocrtu projicira redom u cijelu ravninu Π1, Π2 i Π3.
    Stoga za prikaz ravnine u Mongeovom projiciranju moramo istaknuti neke njezine posebne linije, a to će biti njezine presječnice s ravninama projekcije koje nazivamo tragovima ravnine. Ravnine ćemo (kao što smo napomenuli u uvodu) označavati velikim grčkim slovima, a njihove tragove odgovarajućim malim latinskim slovima (npr. A ↔ a, B ↔ b, Γ ↔ g, Δ ↔ d, P ↔ r, Σ ↔ s).

    Neka je Ρ neka ravnina prostora, tada

  • pravac r1 = P ∩ Π1 nazivamo njenim 1. tragom, (r1'' = x, r1''' = y),

  • pravac r2 = P ∩ Π2 nazivamo njenim 2. tragom, (r2' = x, r2''' = z),

  • pravac r3 = P ∩ Π3 nazivamo njenim 3. tragom, (r3' = y, r3'' = z).

    Zadavanje ravnine u koordinatnom sustavu s tri broja

    Svaku ravninu, koja ne prolazi ishodištem O koordinatnog sustava O(x,y,z), osi tog sustava probadaju u tri točke:

    X = x ∩ P, probodište osi x i ravnine P,
    Y = y ∩ P, probodište osi y i ravnine P,
    Z = z ∩ P, probodište osi z i ravnine P.

    Označimo li koordinate tih točaka na sljedeći način:
    X = (ξ,0,0), Y = (0,η,0), Z = (0,0,ζ),
    jasno je da položaj ravnine P u prostoru, a time i njezine tragove u ravnini crteža, možemo jednoznačno odrediti pomoću trojke brojeva (ξ,η,ζ), kao što je prikazano na sljedećoj slici.
    Iz definicije tragova je jasno da se po dva traga uvijek sijeku na koordinatnim osima:

    r1 ∩ r2 = X ∈ x, r1 ∩ r3 = Y ∈ y, r2 ∩ r3 = Z ∈ z.

    Na gornjoj slici je prikazan i način na koji ćemo, zbog preglednosti, ucrtavati tragove ravnine u Mongeovom projiciranju.
    Dakle, ukoliko crtamo sva tri traga, punom ćemo linijom iscrtavat one dijelove koje vidimo iz I. oktanta.
    Ostale dijelove, ako trebamo, iscrtavat ćemo izlomljenom linijom.
    U projekcijama to znači da ćemo npr. 1. trag ravnine crtati punom linijom ispod osi x i desno od osi y'.
    (Definiraje, na taj način, područja u kojima ćemo punom linijom iscrtavati 2. i 3. trag ravnine).

    Zadatak 1: Nacrtajte i označite tragove ravnina A(4,2,3), B(3,2,–4), Γ(4,2,∞), Δ(4,∞,2) i E(∞,4,2).

    Međutim, u našim ćemo zadacima vrlo često, možemo reći i uvijek kad nam to zadatak dozvoljava, koristiti samo dvije projekcije (uglavnom tlocrt i nacrt).
    Pa, ukoliko crtamo samo dva traga ravnine, punom ćemo linijom iscrtavat one dijelove koje vidimo iz I. kvadranta

    Zadatak 2: Nacrtajte i označite 1. i 2. tragove sljedećih ravnina:
    Σ(–4,2,5), Κ(–4,–2,5), Ω(–4,–2,–5), Λ(–4,–2,∞), Φ(–4,∞,–5), Ψ(∞,–2,–5), Ζ(∞,∞,2), Τ(∞,2,∞) i Θ(2,∞,∞).

    Vizualizacije promjene tragova

    Sljedeća animacija prikazuje promjenu 2. i 3. traga ravnine, ako ona rotira oko svog 1. traga.
    Uočite da se 2. i 3. trag ravnine uvijek sijeku na osi z.

    Kliknite na sliku i pokrenite animaciju.

    Posebni položaji ravnina

    Projicirajuće ravnine — ravnine prometalice

    Te su ravnine okomite su na barem jednu ravninu projekcije, tj. paralelne su s barem jednom osi.
    One će se stoga, barem u jednoj projekciji, projicirati u pravac - svoj odgovarajući trag za tu projekciju.

    1. projicirajuća ravnina E
    E ⊥ Π1, E || z
    e1 = E'    		 2. projicirajuća ravnina E
    E ⊥ Π2, E || y
    e2 = E''    		 3. projicirajuća ravnina E
    E ⊥ Π3, E || x
    e3 = E'''


    Σ || Π1, Σ ⊥ z
    Σ ⊥ Π2, Π3
    Σ || x, y    		 Σ || Π2, Σ ⊥ y
    Σ ⊥ Π1, Π3
    Σ || x, z     		Σ || Π3, Σ ⊥ x
    Σ ⊥ Π1, Π2
    Σ || y, z
    Trag s1 je beskonačno daleki pravac ravnine Π1.

    		 Trag s2 je beskonačno daleki pravac ravnine Π2.

    		 Trag s3 je beskonačno daleki pravac ravnine Π3.

    Na gornjim su slikama istaknuta područja na koja se projiciraju one točke ravnine koje leže u prvom oktantu.

    Ravnine kroz točku O

    To su slučajevi kada nam trojka brojeva (ξ,η,ζ) ne daje dovoljno podataka o ravnini da bismo mogli odrediti njezine tragove.
    Primjerice, Ρ(0,0,0) znači samo to da ravnina Ρ prolazi ishodištem, Ρ(∞,0,0), Ρ(0,∞,0) ili Ρ(0,0,∞) znači da ravnina sadrži os x, y ili z.
    U tim će slučajevima za konstrukciju tragova (ako nam ne odgovara jednostavno promijeniti položaj ishodišta), morati biti zadan još neki podatak o ravnini.

  • U slučajevima kad ravnina sadrži neku os sustava, ta se os podudara s njezina 2 traga.
    Za projekciju u kojoj trag nije moguće odrediti ta je ravnina projicirajuća.
    Zato je dovoljno zadati još samo jednu točku izvan osi pa će projekcija te točke odrediti i traženi trag.

    Primjeri su ravnina simetrije i ravnina koincidencije čiji su tragovi iscrtani prema njihovoj vidljivosti u 1. oktantu, na donjim slikama.



    Tragovi ravnine simetrije.

    Tragovi ravnine koincidencije.


  • U slučaju Ρ(0,0,0) poznata nam je samo jedna točka ravnine.
    Stoga je za određivanje te ravnine potrebno zadati još dvije točke ili jedan pravac te ravnine koji nisu incidentni s ishodištem.
    Na pitanje kako se u tom slučaju konstruiraju tragovi ravnine moći ćemo uskoro odgovoriti.


    Pravac u ravnini

    Prvo i drugo probodište nekog pravca su točke koje leže u ravninama Π1 i Π2. Stoga pravac leži u ravnini ako i samo ako je njegovo prvo probodište na prvom, a drugo na drugom tragu ravnine. Tada svakako i njegovo treće probodište leži na trećem tragu ravnine.

    p ⊂ Ρ <=> P1 ∈ r1 & P2 ∈ r2

    KONSTRUKCIJA projekcija pravca koji leži u ravnini zadanoj tragovima.
    ZADATAK: KONSTRUIRATI tragove ravnine koja prolazi ishodištem ako su zadane još dvije njezine točke.

    Točka u ravnini

    Točka leži u ravnini ako i samo ako leži na nekom pravcu te ravnine.

    T ∈ Ρ <=> ∃ p ⊂ Ρ & T ∈ p



    ZADATAK: Konstruirajte nacrt točke T(2,2,–), ako ona leži u ravnini P(4,5,3).

    Određivanje tragova ravnine

    Sada vrlo jednostavno možemo konstruirati tragove ravnine ukoliko je ona zadana s dva pravca (koji su paralelni ili ukršteni), pravcem i točkom koja na njemu ne leži ili s tri nekolinearne točke:
  • Ravnina je određena s paralelnim pravcima p i q.

    Princip konstrukcije tragova te ravnine dan je na animaciji desno.
    Kliknite na sliku za pokretanje animacije.

    Opišite riječima princip konstrukcije.















  • Ravnina je određena s ukrštenim pravcima p i q.

    Princip konstrukcije tragova te ravnine dan je na animaciji desno.
    Kliknite na sliku za pokretanje animacije.

    Opišite riječima princip konstrukcije.













  • Slučajevi kada je ravnina određena s pravcem p i točkom P ∉ p, ili s tri nekolinearne točke A, B i C,
    vrlo se jednostavno svode na jedan od prethodna dva slučaja.
    Na donjim je slikama prikazano njihovo svođenje na slučaj paralelnih pravaca.

    Dvije ravnine

    Ravnine Ρ i Σ mogu biti ili paralelne ili se sjeći duž presječnice p.

  • Ravnine Ρ i Σ su paralelne ako i samo ako su paralelni njihovi odgovarajući tragovi, tj.

    Ρ | | Σ <=>r1 | | s1 & r2 | | s2.



  • Ako se ravnine Ρ i Σ sijeku, tada su probodišta njihove presječnice p sjecišta odgovarajućih tragova tih ravnina, tj.

    Ρ ∩ Σ = P1P2, gdje jeP1 = r1 ∩ s1 & P2 = r2 ∩ s2.

    Paralelne ravnine. Ravnine se sijeku duž presječnice p.

    KONSTRUKCIJA nekoliko ravnina pramena (p).

    Posebni pravci ravnine

    Posebni pravci su sutražnice i priklonice.

    Sutražnice

  • Sutražnice su pravci ravnine paralelni s ravninama projekcije.

    Dijelimo ih u skupine, ovisno o tome s kojom su od ravnina projekcije paralelni:
  • Pravac a je sutražnica 1. skupine ravnine Ρ ako je a | | Π1.
    Za njegove projekcije vrijedi: a' | | r1, a'' | | x, a''' | | y.
  • Pravac b je sutražnica 2. skupine ravnine Ρ ako je b | | Π2.
    Za njegove projekcije vrijedi: b' | | x, b'' | | r2, b''' | | z.
  • Pravac c je sutražnica 3. skupine ravnine Ρ ako je c | | Π3.
    Za njegove projekcije vrijedi: c' | | y, c'' | | z, c''' | | r3.



    a — sutražnica 1. skupine b — sutražnica 2. skupine c — sutražnica 3. skupine


    KONSTRUKCIJA točke u ravnini pomoću sutražnice.

    KONSTRUKCIJA tragova ravnine koja je paralelna sa zadanom ravninom i prolazi zadanom točkom.

    Priklonice

  • Priklonice su pravci ravnine okomiti na njezine tragove.

    I ove pravce dijelimo u tri skupine, ovisno o tome na koju su trag okomiti:
  • Pravac a je priklonica 1. skupine ravnine Ρ ako je on pravac u toj ravnini za koji vrijedi a ⊥ r1.
    Tlocrt takvog pravca okomit je na prvi trag ravnine, tj. a' ⊥ r1.
  • Pravac b je priklonica 2. skupine ravnine Ρ ako je b ⊂ Ρ i vrijedi b ⊥ r2.
    Nacrt takvog pravca okomit je na drugi trag ravnine, tj. b'' ⊥ r2.
  • Pravac c je priklonica 3. skupine ravnine Ρ ako je c ⊂ Ρ i vrijedi c ⊥ r3.
    Bokocrt takvog pravca okomit je na treći trag ravnine, tj. c''' ⊥ r3.

    Na donjim je slikama prikazan pravac p koji je priklonica 1. skupine ravnine Ρ.

    Prikloni kut ravnine

  • Prikloni kut ravnine je kut što ga ona zatvara s ravninom projekcije.

    Ovisno o tome prema kojoj od ravnina projekcije mjerimo kut dane ravnine Ρ,
    govorimo o njenom 1., 2. ili 3. priklonom kutu koji redom označavamo ω1, ω2 ili ω3.

    Prema definiciji kuta između dviju ravnina jasno je da vrijedi sljedeće:
  • ω1 = ∠ (a,a'), gdje je a bilo koja priklonica 1. skupine ravnine Ρ.
  • ω2 = ∠ (b,b''), gdje je b bilo koja priklonica 2. skupine ravnine Ρ.
  • ω3 = ∠ (c,c'''), gdje je c bilo koja priklonica 3. skupine ravnine Ρ.

    Na donjim slikama prikazan je prvi prikloni kut ravnine Ρ kao kut između jedne njezine priklonice 1. skupine i njezinog tlocrta.
    Prikazana je i konstrukcija kojom se u Mongeovom projiciranju određuje prava veličina tog kuta.