2.2.6. Bokocrt

Bokocrt točke

Neka je \(\small \Pi_3\) koordinatna ravnina određena s osima \(\small y\) i \(\small z\).
U lijevom koordinatnom sustavu \(\small O(x,y,z)\) ravninu \(\small\Pi_3\) nazivamo
trećom ravninom projekcije ili bokocrtnom ravninom.
Ortogonalnu projekciju točke \(\small T \) na ravninu \(\small\Pi_3\) nazivamo
bokocrtom točke \(\small T \) i označavamo \(\small T'''_3\).

Rotiramo ravninu \(\small\Pi_3\) oko presječnice \(\small z \) u smjeru kretanja kazaljke
sata za kut od \(\small 90^\circ\) (lijeva ili negativna rotacija).
Pri toj se rotaciji točka \(\small T'''_3\) preslikava u točku \(\small T'''\) u ravnini \(\small\Pi_2\).

Točku \(\small T'''\) također nazivamo trećom projekcijom ili
lijevim bokocrtom točke \(\small T \).

Desni bokocrt \(\small T'''\in \Pi_2\), dobivamo u slučaju desne ili pozitivne rotacije
(suprotno smjeru kazaljke sata) oko osi \(\small z \), za \(\small 90^\circ\).

U daljnjem ćemo tekstu za lijevi bokocrt upotrebljavati samo izraz bokocrt.
Dakle, kad će se govoriti o bokocrtu podrazumijevat će se lijevi bokocrt.
Slika 2.59


Sada u ravnini \(\small\Pi_2\) imamo tri projekcije točke \(\small T\), njezin tlocrt, nacrt i bokocrt \(\small(T',T'',T''')\).

Prije opisani načini dobivanja tih triju projekcija točke u ravnini \(\small\Pi_2\), kao i veze između te tri projekcije, mogu se uočiti na slikama 2.60a i 2.60b.
Slika 2.60a Animacija tlocrt-nacrt-bokocrt
(klik na sliku za animaciju)












Slika 2.60b: Projekcije točke u ravnini crteža.


Ravnina \(\small\Pi_3\) dijeli prostor na dva poluprostora — lijevi i desni.

Pogled za lijevi bokocrt definiran je kao pogled zdesna.

Ravnine \(\small\Pi_1\), \(\small\Pi_2\) i \(\small\Pi_3\) dijele prostor na osam oktanata.

Točka \(\small T(x,y,z)\) pripada određenom oktantu ovisno o predznaku njezinih \(\small x\), \(\small y\) i \(\small z\) koordinata (vidi sliku 2.61 i tablicu).


Slika 2.61
oktantxyz
I+++
II+−+
III+− −
IV++−
V− ++
VI− −+
VII− − −
VIII− +−

  • Bokocrti svih točaka ravnine \(\small \Pi_1\) leže na osi \(\small y\), (\(\small T\in \Pi_1 \Leftrightarrow T'''\in y\)).

  • Bokocrti svih točaka ravnine \(\small \Pi_2\) leže na osi \(\small z\), (\(\small T\in \Pi_2 \Leftrightarrow T'''\in z\)).

  • Tlocrti i nacrti svih točaka ravnine \(\small\Pi_3\) leže na osi \(\small y\), odnosno \(\small z\), (\(\small T\in\Pi_3\Leftrightarrow T'\in y \,  \&  \,T'' \in z\)).

  • Udaljenost točke od ravnine \(\small\Pi_3\) mjeri se njenom \(\small x\)-koordinatom: \(\small d(T,\Pi_3) = |x|\), za \(\small x > 0\), \(\small T\) leži s desne strane ravnine \(\small\Pi_3\), a za \(\small x < 0\), \(\small T\) leži s lijeve strane ravnine \(\small\Pi_3\).


    Slika 2.62a


    Slika 2.62b

    Prevaljivanje dužine u ravninu \(\small\Pi_3\)

    Dužinu \(\small\overline{ A^\circ B^\circ}\) u ravnini \(\small\Pi_3\), za koju vrijedi \(\small d (A^\circ, B^\circ) = d (A,B)\), konstruiramo rotacijom pravokutnog trapeza \(\small AA'''B'''B\) oko osi \(\small A'''B'''\) za kut od \(\small 90^\circ\).

    Postupak je sličan prevaljivanju u \(\small \Pi_1\) ili \(\small \Pi_2\), samo što se ovdje duljine paralelnih stranica pravokutnog trapeza očitavaju pomoću \(\small x\)-koordinata točaka \(\small A\) i \(\small B\).

    Ako su \(\small x\)-koordinate točaka \(\small A\) i \(\small B\) različitih predznaka
    (jedna točka pripada lijevom, a druga desnom poluprostoru), u prevaljenom ćemo položaju umjesto trapeza dobiti dva trokuta.
    Slika 2.63

    Bokocrt pravca

    Ako neki pravac \(\small p\) nije paralelan s osi \(\small x\), njegov je bokocrt pravac \(\small p'''\).

    Točku \(\small P_3\) u kojoj pravac p probada bokocrtnu ravninu \(\small\Pi_3\) nazivamo trećim probodištem pravca \(\small p\), \(\small P_3 = p\cap \Pi_3\).
    Ta se točka u tlocrtu projicira na os \(\small y\), a u nacrtu na os \(\small z\).

    Bokocrti ostalih probodišta pravca \(\small p\), točke \(\small P'''_1\) i \(\small P'''_2\), nalaze se na osi \(\small y\), odnosno \(\small z\).

    Treći prikloni kut pravca \(\small p\) je kut što ga taj pravac zatvara s bokocrtnom ravninom, odnosno to je kut između tog pravca i njegovog bokocrta,
    \(\small \omega_3 = \angle (p, \Pi_3) =\angle (p, p''')\).


     Slika 2.64a    		 Slika 2.64b

    Posebni položaji



    Slika 2.65: \(\small p\parallel\Pi_3\Longleftrightarrow p'\parallel y\,\&\,p''\parallel z\)


    Slika 2.66: \(\small q\perp\Pi_3\Longleftrightarrow q\parallel x\), \(\small q'''\) je točka



    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu