2.2.6. Bokocrt

Bokocrt točke Neka je $\small \Pi_3$ koordinatna ravnina određena s osima $\small y$ i $\small z$. U lijevom koordinatnom sustavu $\small O(x,y,z)$ ravninu $\small\Pi_3$ nazivamo trećom ravninom projekcije ili bokocrtnom ravninom. Ortogonalnu projekciju točke $\small T$ na ravninu $\small\Pi_3$ nazivamo bokocrtom točke $\small T$ i označavamo $\small T'''_3$. Rotiramo ravninu $\small\Pi_3$ oko presječnice $\small z$ u smjeru kretanja kazaljke sata za kut od $\small 90^\circ$ (lijeva ili negativna rotacija). Pri toj se rotaciji točka $\small T'''_3$ preslikava u točku $\small T'''$ u ravnini $\small\Pi_2$. Točku $\small T'''$ također nazivamo trećom projekcijom ili lijevim bokocrtom točke $\small T$. Desni bokocrt $\small T'''\in \Pi_2$, dobivamo u slučaju desne ili pozitivne rotacije (suprotno smjeru kazaljke sata) oko osi $\small z$, za $\small 90^\circ$. U daljnjem ćemo tekstu za lijevi bokocrt upotrebljavati samo izraz bokocrt. Dakle, kad će se govoriti o bokocrtu podrazumijevat će se lijevi bokocrt.

Slika 2.59

Slika 2.60a Animacija tlocrt-nacrt-bokocrt (klik na sliku za animaciju)

Slika 2.60b: Projekcije točke u ravnini crteža.

Ravnina $\small\Pi_3$ dijeli prostor na dva poluprostora — lijevi i desni.

Pogled za lijevi bokocrt definiran je kao pogled zdesna.

Ravnine $\small\Pi_1$, $\small\Pi_2$ i $\small\Pi_3$ dijele prostor na osam oktanata.

Točka $\small T(x,y,z)$ pripada određenom oktantu ovisno o predznaku njezinih $\small x$, $\small y$ i $\small z$ koordinata (vidi sliku 2.61 i tablicu).

Slika 2.61

oktant x y z I + + + II + − + III + − − IV + + − V − + + VI − − + VII − − − VIII − + −

Udaljenost točke od ravnine $\small\Pi_3$ mjeri se njenom $\small x$-koordinatom: $\small d(T,\Pi_3) = |x|$, za $\small x > 0$, $\small T$ leži s desne strane ravnine $\small\Pi_3$, a za $\small x < 0$, $\small T$ leži s lijeve strane ravnine $\small\Pi_3$.

Slika 2.62a

Slika 2.62b

Prevaljivanje dužine u ravninu $\small\Pi_3$

Dužinu $\small\overline{ A^\circ B^\circ}$ u ravnini $\small\Pi_3$, za koju vrijedi $\small d (A^\circ, B^\circ) = d (A,B)$, konstruiramo rotacijom pravokutnog trapeza $\small AA'''B'''B$ oko osi $\small A'''B'''$ za kut od $\small 90^\circ$. Postupak je sličan prevaljivanju u $\small \Pi_1$ ili $\small \Pi_2$, samo što se ovdje duljine paralelnih stranica pravokutnog trapeza očitavaju pomoću $\small x$-koordinata točaka $\small A$ i $\small B$. Ako su $\small x$-koordinate točaka $\small A$ i $\small B$ različitih predznaka (jedna točka pripada lijevom, a druga desnom poluprostoru), u prevaljenom ćemo položaju umjesto trapeza dobiti dva trokuta.

Slika 2.63

Bokocrt pravca

Ako neki pravac $\small p$ nije paralelan s osi $\small x$, njegov je bokocrt pravac $\small p'''$.

Točku $\small P_3$ u kojoj pravac p probada bokocrtnu ravninu $\small\Pi_3$ nazivamo trećim probodištem pravca $\small p$, $\small P_3 = p\cap \Pi_3$.
Ta se točka u tlocrtu projicira na os $\small y$, a u nacrtu na os $\small z$.

Bokocrti ostalih probodišta pravca $\small p$, točke $\small P'''_1$ i $\small P'''_2$, nalaze se na osi $\small y$, odnosno $\small z$.

Treći prikloni kut pravca $\small p$ je kut što ga taj pravac zatvara s bokocrtnom ravninom, odnosno to je kut između tog pravca i njegovog bokocrta,
$\small \omega_3 = \angle (p, \Pi_3) =\angle (p, p''')$.

Slika 2.64a

Slika 2.64b

Posebni položaji

Slika 2.65: $\small p\parallel\Pi_3\Longleftrightarrow p'\parallel y\,\&\,p''\parallel z$

Slika 2.66: $\small q\perp\Pi_3\Longleftrightarrow q\parallel x$, $\small q'''$ je točka

Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu