Projiciranje tijela s bazom paralelnom s ravninom projekcije

Jasno je da je ortogonalna projekcija nekog geometrijskog tijela neka ravninska figura u ravnini projekcije.
To je dio ravnine kojem granica može biti neki ravninski poligon (u slučaju poliedara), neka ravninska krivulja (u slučaju kugle) ili figura sastavljena od dijelova ravninskih krivulja i dužina (u slučaju stožaca i valjaka).
Taj rubni dio projekcije nazivamo konturom tijela za danu projekciju.

Prilikom projiciranja trodimenzionalnih geometrijskih tijela, čije smo osobine ponovili u prethodnom odjeljku, uvijek se događa da se dvije točke projiciraju u istu točku. Stoga će, pri pogledu na projekciju, jedna od tih točaka zaklanjati onu drugu. Ovisno o tome s koje ćemo strane gledati na ravninu projekcije, jedna od točaka će se vidjeti, a druga ne. Tako ćemo i neke dijelove tijela smatrati vidljivima i oni će zakloniti druge dijelove tijela, koje ćemo smatrati nevidljivima u određenoj projekciji.
Granična linija, koja razdvaja dijelove tijela koji se u određenoj projekciji vide od onih koji se ne vide, je upravo ranije spomenuta kontura tijela u toj projekciji.

Da bismo uopće mogli razmatrati vidljivost nekog objekta, potrebno je definirati pogled za projekciju.

U Mongeovom projiciranju, pogledi su definirani na sljedeći način:

  • pogled za tlocrt ili tlocrtni pogled je pogled odozgo,

  • pogled za nacrt ili nacrtni pogled je pogled sprijeda.


  • Budući da \(\small z\)-koordinate točaka iskazuju njihove udaljenosti od ravnine \(\small \Pi_1\), za uspoređivanje položaja točaka prilikom pogleda za tlocrt (koja je viša, a koja niža) koristit ćemo nacrte točaka.

  • Analogno, za određivanje vidljivosti točaka u nacrtu (koja je ispred, a koja iza), koristit ćemo njihove tlocrte, jer nam \(\small y\)-koordinate točaka iskazuju udaljenosti točaka od ravnine \(\small \Pi_2\).

    Primjeri

    U sljedećim primjerima objašnjavamo, uglavnom slikom, kako se projiciraju tijela s bazom u ravnini paralelnoj s ravninom projekcije, te koji se dijelovi tijela vide u nekoj projekciji, a koji su zaklonjeni samim tim tijelom.

    Projekcije poliedara crtamo tako da odredimo projekcije njihovih vrhova i bridova.
    Konturu i bridove koji se u nekoj projekciji vide iscrtavamo punom linijom, a one bridove koji se u projekciji ne vide, iscrtavamo crtkanom linijom.

    Primjer 1

    Dana je kocka kojoj su dvije strane paralelne s ravninom \(\small \Pi_1\).
    Ta će se kocka u tlocrtu projicirati u kvadrat sukladan svojoj strani, a vidjet će se gornja strana kocke.
    Nacrtna kontura je pravokutnik.
    U toj se projekciji vide prednje dvije strane kocke i brid duž kojeg se one sijeku. Dvije stražnje strane su zaklonjene, njihov zajednički zaklonjeni brid iscrtavamo u toj projekciji crtkano.
    Koji se bridovi i u kojoj projekciji projiciraju u pravoj veličini i zašto?

    Primjer 2

    Dana je pravilna četverostrana piramida kojoj je osnovica paralelna s ravninom \(\small \Pi_2\).
    Tlocrtna kontura je trokut. Osim konturnih bridova, u tlocrtu se vidi i gornji pobočni brid, dok je donji pobočni brid zaklonjen.
    Nacrtna kontura je kvadrat sukladan osnovici piramide. Sva četiri pobočna brida vide se u nacrtu, jer se nalaze ispred osnovice.
    Na slici su ružičastom bojom istaknute gornje pobočke piramide.

    Primjer 3

    Dan je stožac s osnovicom u ravnini \(\small \Pi_1\).
    Tlocrt tog stošca podudara se s njegovom osnovicom, koji je krug.
    Nacrt stošca je trokut, a konturne izvodnice su one izvodnice stošca koje su paralelne s ravninom \(\small \Pi_2\).
    Te konturne izvodnice dijele plašt stošca na dva dijela, na jedan koji se u nacrtu vidi i drugi koji se ne vidi.

    Ako točka leži na tijelu, ali ne na nekom njegovom bridu, njezinu projekciju određujemo tako da odredimo projekciju neke linije na tijelu koja prolazi tom točkom. Vidljivost točke u projekciji ovisi o tome da li se odabrana linija tijela koja njome prolazi vidi ili ne vidi u projekciji, ako se linija vidi, vidi se i točka, i obrnuto.

    U ovom su primjeru određene projekcije dviju točaka (\(\small A\) i \(\small B\)) koje leže na plaštu stošca. One su određene tako da su konstruirane projekcije izvodnica koje njima prolaze (spojnice točaka \(\small A\) i \(\small B\) s vrhom stošca). Izvodnica koja leži na prednjem dijelu plašta stošca u nacrtu se vidi (pa stoga i točka \(\small B\)), a izvodnica točke \(\small A\) leži na stražnjoj strani plašta stošca pa se u nacrtu ne vidi.

    Primjer 4




    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu