Geometrijska tijela

Osnovna podjela geometrijskih tijela je na uglata (poliedre) i obla.

Poliedri

Poliedar je geometrijsko tijelo omeđeno mnogokutima (mora ih biti najmanje četiri).
Te mnogokute nazivamo stranama poliedra, stranice tih mnogokuta nazivamo bridovima poliedra, a njihove vrhove vrhovima poliedra.
Prostorna dijagonala poliedra je svaka dužina koja spaja ona dva vrha poliedra koji ne leže na istim stranama.
Konveksni poliedri su oni kojima sve dijagonale leže unutar njih. Mi ćemo se ovdje baviti uglavnom konveksnim poliedrima.


Primjer konveksnog poliedra – KVADAR Primjer nekonveksnog poliedra

Platonova tijela

Pravilni poliedri su oni kojima su sve strane sukladni pravilni mnogokuti, a svi kutovi između tih strana su jednaki.
Takvih postoji samo pet i nazivaje se Platonova tijela. To su:
tetraedar


heksaedar


oktaedar


dodekaedarpodsjetnik
konstrukcija pravilnog peterokuta


ikosaedar


Prizme

Prizma je poliedar čije su dvije strane dva sukladna mnogokuta koji imaju paralelne odgovarajuće stranice i leže u paralelnim ravninama.
Te mnogokute nazivamo osnovkama ili bazama prizme.
Ostale strane prizme čine paralelogrami koji spajaju odgovarajuće stranice baza.
Te paralelograme nazivamo pobočkama prizme, a dužine koje spajaju odgovarajuće vrhove baza nazivamo pobočnim bridovima prizme, a skup svih pobočki nazivamo pobočjem prizme.
Visina prizme jednaka je udaljenosti njezinih baza.

Prizme kojima su pobočni bridovi okomiti na ravnine baza nazivamo uspravnim prizmama, a ostale kosim prizmama.
Bridovi uspravne prizme jednaki su njenoj visini, a pobočke uspravne prizme su pravokutnici.
Uspravnu prizmu kojoj su baze pravilni poligoni nazivamo pravilnom prizmom, njezine su pobočke međusobno sukladni pravokutnici.

Pravilna šesterostrana prizma Kosa šesterostrana prizma


Piramide

Neka su u prostoru dani jedan konveksni mnogokut \({\small \mathcal B}\) i točka \({\small V}\) koja ne leži u ravnini tog mnogokuta.
Poliedar kojeg omeđuju mnogokut \({\small \mathcal B}\) te trokuti \({\small \triangle VB_iB_j}\) (gdje su \({\small B_i}\), \({\small B_j}\) dva susjedna vrha mnogokuta \({\small \mathcal B}\) ) nazivamo piramidom.

Mnogokut \({\small \mathcal B}\) nazivamo osnovkom (ili bazom ) piramide, točku \({\small V}\) njezinim vrhom, trokute \({\small \triangle VB_iB_j}\) njenim pobočkama, dužine \({\small \overline{VB_i}}\) njenim pobočnim bridovima, a skup svih pobočki \({\small \triangle VB_iB_j}\) nazivamo pobočjem piramide.
Visina piramide jednaka je udaljenosti vrha \({\small V}\) od ravnine osnovke.

Za piramidu kažemo da je uspravna ako se nožište okomice iz vrha \({\small V}\) na ravninu njezine baze podudara sa središtem te baze (ova definicija ima smisla jedino u slučajevima kad baza ima središte tj. kad je to primjerice pravilan mnogokut, pravokutnik ili bilo koji tetivni mnogokut). Sve pobočke takve piramide su jednakokračni trokuti.
Ostale piramide nazivamo kosim piramidama.

Ako je osnovka uspravne piramide pravilan mnogokut, kažemo da je to pravilna piramida.
Pobočke pravilne piramide su sukladni jednakokračni trokuti.



Pravilna šesterostrana piramida Kosa šesterostrana piramida

Obla tijela

Obla su tijela ona koja na svojoj granici osim ravnih dijelova imaju i dio koji pripada barem jednoj zakrivljenoj plohi.
Ta tijela mogu na svom rubu imati i samo jednu zakrivljenu plohu.

Valjci

Ovdje ćemo pod pojmom valjka podrazumijevati isključivo kružne valjke.
Takvo je tijelo omeđeno s dva sukladna kruga \({\small \mathcal K_1(S_1,r)}\) i \({\small \mathcal K_2(S_2,r)}\), s graničnim kružnicama \({\small k_1}\) i \({\small k_2}\), koji leže u paralelnim ravninama i nazivamo ih osnovkama valjka, te zakrivljenom plohom koju čine sve dužine \({\small \overline{T_1T_2}}\), gdje je \({\small \overline{T_1T_2}\parallel\overline{S_1S_2},\,T_1\in k_1,\,T_2\in k_2}\). Tu zakrivljenu plohu nazivamo plaštom valjka, a spojnice \({\small \overline{T_1T_2}}\) izvodnicama valjka. Sve izvodnice valjka su sukladne.

Spojnica \({\small \overline{S_1S_2}}\) je os valjka.
Ako je os valjka okomita na ravnine njegovih osnovki, valjak je uspravan, a svaki takav kružni valjak je ujedno i rotacijski tj. njegov plašt nastaje rotacijom dužine \({\small \overline{T_1T_2}}\) oko osi \({\small \overline{S_1S_2}}\). Duljina izvodnice takvog valjka jednaka je njegovoj visini.
Ostali valjci su kosi.

Ravninu koja sadrži os valjka, nazivamo ravninom osnog presjeka valjka.
Svaka takva ravnina siječe rotacijski valjak po pravokutniku.
Ako je osni presjek valjka kvadrat, tj. ako je duljina izvodnice valjka jednaka dvostrukom radijusu njegove osnovke, kažemo da je valjak jednakostraničan.
Uspravni kružni valjak – rotacijski valjak Kosi kružni valjak


Stošci

Isto kao kod valjaka, i ovdje ćemo pod pojmom stošca podrazumijevati kružni stožac.
Ako je \({\small \mathcal K}\) neki krug, \({\mathcal k}\) njegova rubna kružnica, a \({\small V}\) bilo koja točka koja ne leži u ravnini kruga \({\small \mathcal K}\), onda tijelo omeđeno krugom \({\small \mathcal K}\) i zakrivljenom plohom što ju čine sve dužine \({\small \overline{VT}}\), gdje je \({\small T\in k}\), nazivamo stošcem.
Krug \({\small \mathcal K}\) nazivamo osnovkom ili bazom stošca, zakrivljenu plohu njegovim plaštom, a spojnice \({\small \overline{VT}}\) izvodnicama stošca.

Spojnicu \({\small \overline{VS}}\), gdje je \({\small S}\) središte baze stošca, nazivamo os stošca.
Ako je os stošca okomita na ravninu njegove baze, stožac je uspravan, a u ostalim slučajevima je kosi.
Uspravni kružni stošci su ujedno i rotacijski, a njihov plašt nastaje rotacijom izvodnice \({\small \overline{VT}}\) oko osi \({\small \overline{VS}}\).

Svaku ravninu koja sadrži os stošca, nazivamo ravninom osnog presjeka stošca.
Svaki osni presjek rotacijskog stošca je jednakokračan trokut.
Ako je taj trokut istostraničan, tj. ako je duljina izvodnice jednaka dvostrukom radijusu baze, kažemo da je stožac jednakostraničan.
Uspravni kružni stožac – rotacijski stožac Kosi kružni stožac


Kugla

Kugla je skup točaka prostora čija je udaljenost od jedne čvrste točke \({\small S}\) manja ili jednaka nekoj pozitivnoj konstanti \({\small r}\).
Točku \({\small S}\) nazivamo središtem kugle, a broj \({\small r}\) njenim polumjerom ili radijusom.

Kugla je primjer tijela koje je omeđeno samo jednom plohom.
Kugla je omeđena sferom, tj. skupom točaka koje su od \({\small S}\) udaljene za \({\small r}\).

Sve ravninske krivulje na sferi su kružnice.
Kružnice na sferi koje imaju isto središte kao sfera imaju i isti polumjer kao ona, a nazivamo ih glavnim kružnicama sfere.

Presječne kružnice sfere i sistema paralelnih horizontalnih ravnina nazivamo paralelama, a najdulju paralelu ekvatorom.

Glavne kružnice sfere koje prolaze krajnjim točkama vertikalnog dijametra sfere (polovima), nazivamo meridijanima.


Sfera Paralele Meridijani




Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu