Uvodno o Mongeovoj metodi

Nacrtna (deskriptivna ili opisna) geometrija bavi se egzaktnim metodama koje omogućuju sljedeće:

  • prikaz objekata trodimenzionalnog prostora u nekoj dvodimenzionalnoj ravnini,

  • rješavanje prostornih problema primjenom konstruktivnih postupaka u ravnini, i

  • rekonstrukciju prostornih objekata na temelju njihovih ravninskih prikaza.

    Metode nacrtne geometrije temelje se na projiciranju, tj.
    preslikavanju trodimenzionalnog euklidskog prostora na dvodimenzionalnu euklidsku ravninu.

    Osnovne vrste projiciranja

    Pravce i ravnine (osnovne elemente prostora), kao i sve ostale prostorne objekte, promatramo kao skupove točaka.
    Stoga je pri definiranju projiciranja dovoljno definirati način projiciranja točke.

    Razlikujemo dvije osnovne vrste projiciranja, centralno i paralelno.

    Centralno projiciranje

    - Neka su u prostoru dane ravnina Π i točka S u konačnosti koja ne leži u ravnini Π (S ∉ Π).

  • Preslikavanje koje svakoj točki T ≠ S pridružuje točku T' koja je probodište pravca ST i ravnine Π nazivamo
    centralnom projekcijom na ravninu Π.

    - Točku S nazivamo središtem, a pravce ST zrakama te centralne projekcije.

    - Ravninu Π nazivamo ravninom projekcije.

    Centralna projekcija točke.
    Centralna projekcija trokuta.

    Paralelno projiciranje

    - Neka su u prostoru dani ravnina Π i pravac s koji s njom nije paralelan.1
  • Preslikavanje koje svakoj točki T pridružuje točku T' koja je probodište ravnine Π i pravca koji sadrži T, a paralelan je sa s, nazivamo paralelnom projekcijom na ravninu Π u smjeru s.2

    - Pravce paralelne s pravcem s nazivamo zrakama tog projiciranja, a Π ravninom projekcije.

  • Ako su zrake projiciranja okomite na ravninu projekcije, onda paralelnu projekciju nazivamo ortogonalnom projekcijom.

    - Za sve ostale slučajeve koristimo naziv kosa paralelna projekcija.

    1 Za pravac koji leži u ravnini također smatramo da je s njom paralelan.
    2 U proširenom euklidskom prostoru paralelnu projekciju možemo interpretirati kao centralnu sa središtem u beskonačnosti.
    Naime, tada iz činjenice S∞ ∉ Π slijedi da je S∞ beskonačno daleka točka nekog pravca koji nije paralelan s ravninom Π.

    Kosa paralelna projekcija točke.
    Kosa paralelna projekcija trokuta.

    Ortogonalna projekcija točke.
    Ortogonalna projekcija trokuta.


    Mongeova metoda (dvocrtni postupak)

    Zbog gubitka jedne dimenzije, kod projiciranja prostornog objekta na ravninu, mogu nastati brojni problemi prilikom rekonstrukcije prostornog oblika na temelju njegove projekcije.
    Tako će, primjerice, za sve trokute kojima vrhovi leže na istim zrakama, centralne i paralelne projekcije biti iste - iako su trokuti različiti.

    Centralna projekcija
    Kosa paralelna projekcija
    Ortogonalna projekcija

    Zamislite sada da imate samo projekciju trokuta u ravnini Π, što na temelju tog crteža možete zaključiti o projiciranom objektu?
    - To može biti projekcija neke krnje trostrane piramide (u slučaju centralne projekcije) ili neke trostrane prizme (u slučaju paralelnih projekcija).
    - To može biti bilo koji trokut kojemu vrhovi leže na pobočnim bridovima spomenute piramide ili prizme.
    - I još mnogo toga....

    Centralna projekcija
    Kosa paralelna projekcija
    Ortogonalna projekcija


    Takvi se problemi, kad koristimo samo jednu projekciju - koja je osobito važna kad želimo dobiti zorni prikaz objekta, rješavaju na različite načine: povoljnim odabirom položaja objekta u odnosu na odredbene elemente projekcije, isticanjem određenih točaka i linija vezanih uz objekt, i slično.

    Međutim, kada je očitavanje metričko-položajnih podataka o prostornom objektu važnije od zornosti njegova prikaza na crtežu (u tehnici je to vrlo čest slučaj), upotreba dviju ortogonalnih projekcija na dvije međusobno okomite ravnine pokazala se vrlo uspješnom.

    Primjerice, ako u gornjem slučaju ortogonalnog projiciranja bijelog i žutog trokuta dodamo još jednu ortogonalnu projekciju (vidi donju sliku), i istovremeno promatramo obje projekcije, grafički će podaci o njima biti znatno jasniji: odmah se vidi da se radi o dva različita trokuta, žuti je iznad bijelog,... itd.


    Ortogonalne projekcije na dvije okomite ravnine

    Ortogonalna projiciranja na dvije okomite ravnine temelj su metode koju je razradio Gaspard Monge, osnivač nacrtne geometrije kao znanstvene discipline. Ta je metoda i danas vrlo važna u tehnici i nazivamo ju Mongeovom metodom.
    - U njoj prostorni objekt ortogonalno projiciramo na dvije međusobno okomite ravnine, a jednu od tih ravnina odabiremo za ravninu crteža.
    - Zatim onu ortogonalnu projekciju objekta koja ne leži u ravnini crteža rotiramo oko presječnice ravnina projekcije za 90o, u ravninu crteža.
    - Na taj način u ravnini crteža dobivamo dvije povezane projekcije objekta koje omogućuju njegovu jednoznačnu prostornu rekonstrukciju.

    Uobičajeno, ravnine projekcije postavljamo u vertikalni i horizontalni položaj, vertikalnu ravninu odabiremo za ravninu crteža, a horizontalnu ravninu rotiramo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljki sata.

    Na donjim su slikama dane animirane ilustracije ovog postupka kada je objekt samo jedna točka T.
    Klik na sliku za animaciju PROSTOR -> RAVNINA     		Projekcije točke u ravnini crteža.
    Klik na sliku za animaciju RAVNINA -> PROSTOR

    • Danas, kad je računalno 3D-modeliranje dovedeno do stupnja da prikaz na dvodimenzionalnom monitoru možemo vrlo lako mijenjati te imati dojam da pokrećemo objekt i promatramo ga sa svih strana (u stvari, vrlo brzo mijenjamo odredbene parametre projekcije), Mongeova je metoda ugrađena u gotovo sve 3D-CAD programe. Naime, ona je vrlo primjenjiva u računalnom modeliranju prostornih objekata. Stoga je i danas detaljna razrada osnovnih postupaka i svojstava ove metode nezaobilazna u obrazovanju budućih inženjera.




    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu