Međusobni položaj točaka, pravaca i ravnina
Dvije točke mogu se ili podudarati ili biti različite.
Točka i pravac mogu biti u sljedećim položajima:
- \({\small T}\) leži na pravcu \({\small p}\) (\({\small T\in p}\))
- \({\small T}\) ne leži na pravcu \({\small p}\) (\({\small T\notin p}\)).
Točka i ravnina mogu biti u sljedećim položajima:
- \({\small T}\) leži u ravnini \({\small\Sigma}\) (\({\small T\in \Sigma}\))
- \({\small T}\) ne leži u ravnini \({\small\Sigma}\) (\({\small T\notin \Sigma}\)).
Dva pravca mogu se ili podudarati ili biti različiti. Ako su različiti, mogu biti u sljedećim položajima:
- pravci \({\small p_1}\)i \({\small p_2}\) se sijeku te tada imaju jednu zajedničku točku u konačnosti koju nazivamo njihovim sjecištem,
a za pravce kažemo da su ukršteni ( \({\small p_1\cap p_2 = P}\)) - pravci \({\small p_1}\)i \({\small p_2}\) su paralelni, odnosno njihovo je sjecište neka beskonačno daleka točka (\({\small p_1 || p_2}\), tj. \({\small p_1\cap p_2 = P^\infty}\))
- pravci \({\small p_1}\)i \({\small p_2}\) su mimosmjerni ili mimoilazni te tada nemaju ni jednu zajedničku točku (\({\small p_1\cap p_2 = \phi}\)).
Dvije ravnine mogu se ili podudarati ili biti različite. Ako su različite, mogu biti u sljedećim položajima:
- ravnine \({\small \Sigma_1}\) i \({\small \Sigma_2}\) se sijeku te tada imaju jedan zajednički pravac kojeg nazivamo njihovom presječnicom (\({\small \Sigma_1\cap \Sigma_2 =p}\))
- ravnine \({\small \Sigma_1}\) i \({\small \Sigma_2}\) su paralelne, odnosno njihova je presječnica neki beskonačno daleki pravac prostora (\({\small \Sigma_1\parallel \Sigma_2}\), tj. \({\small \Sigma_1\cap \Sigma_2 = p^\infty}\)).
Pravac i ravnina u prostoru mogu biti u sljedećim položajima:
- pravac \({\small p}\) leži u ravnini \({\small \Sigma}\), odnosno ako dvije različite točke pravca \({\small p}\) leže u ravnini \({\small \Sigma}\), onda i pravac \({\small p}\) leži u ravnini \({\small \Sigma}\), (\({\small p\subset\Sigma}\))
- pravac \({\small p}\) i ravnina \({\small \Sigma}\) se sijeku - tada pravac i ravnina imaju jednu zajedničku točku u konačnosti koju nazivamo njihovim probodištem (\({\small p\cap\Sigma =P}\))
- pravac \({\small p}\) i ravnina \({\small \Sigma}\) su paralelni, odnosno njihovo je probodište beskonačno daleka točka ( \({\small p\parallel\Sigma}\), tj. \({\small p\cap\Sigma =P^\infty}\)).
Pravac \({\small p}\) paralelan je s ravninom \({\small \Sigma}\) ako u \({\small \Sigma}\) postoji barem jedan pravac koji je paralelan s pravcem \({\small p}\). Tada vrijedi da u ravnini \({\small \Sigma}\) postoji beskonačno mnogo pravaca koji su paralelni s pravcem \({\small p}\). Oni čine pramen paralelnih pravaca u toj ravnini.
Određenost ravnine
Ravnina je jednoznačno određena s:
- tri nekolinearne točke
- jednim pravcem i jednom točkom koja ne leži na tom pravcu
- dva pravca koji se sijeku
- dva paralelna pravca.
Za točke i pravce koji leže u istoj ravnini kažemo da su komplanarni. Dva mimosmjerna pravca ne mogu ležati u istoj ravnini pa stoga mimosmjerni pravci nikada nisu komplanarni.
Mjerenje kuta i okomitost
Kut između pravaca i okomiti (ortogonalni) pravci
Kut između dva pravca koji leže u istoj ravnini učili ste mjeriti još u osnovnoj školi. Znate da je kut između dva okomita pravca mjere \({\small 90^\circ}\) (pravi), a onaj između paralelnih pravaca mjere \({\small 0^\circ}\). U svim ostalim slučajevima mjera kuta je između te dvije vrijednosti. Ovdje ćemo mjerenje kuta proširiti i na pravce koji ne leže u istoj ravnini, dakle na mimosmjerne pravce. To činimo na sljedeći način:
- Neka su \({\small p}\) i \({\small q}\) dva mimosmjerna pravca. Na bilo kojem od tih pravaca odaberemo jednu točku i kroz nju položimo pravac \({\small r}\) koji je paralelan s drugim. Kut između tako dobivenih ukrštenih pravaca jednak je kutu između mimosmjernih pravaca \({\small p}\) i \({\small q}\).
- Mimosmjerni pravci su okomiti (ortogonalni) ako je kut između njih (prema navedenoj definiciji) pravi.
Okomitost pravca i ravnine
- Pravac \({\small p}\) je okomit (ortogonalan) na ravninu \({\small\Sigma}\) ako je okomit na svaki pravac u toj ravnini.
Pravac \({\small p}\) nazivamo okomicom ili normalom ravnine \({\small\Sigma}\), a probodište pravca \({\small p}\) i ravnine \({\small\Sigma}\) nožištem pravca \({\small p}\). Međutim, jasno je da nije potrebno (a ni moguće) provjeravati okomitost za sve pravce ravnine, pa se postavlja pitanje koji su dovoljni uvjeti da pravac i ravnina budu okomiti. Odgovor je dan u sljedećem teoremu kojeg ovdje nećemo dokazivati:
- Pravac \({\small p}\) okomit je na ravninu \({\small\Sigma}\) ako je okomit na bilo koja dva ukrštena pravca te ravnine. Vidi sliku 31.
Usto ističemo još dva važna teorema (intuitivno vrlo jasna) koji su vezani za okomitost pravca i ravnine:
- Svakom točkom prostora prolazi jedinstvena ravnina koja je okomita na dani pravac. Vidi animaciju 3.
- Svakom točkom prostora prolazi jedinstvena okomica dane ravnine. Vidi animaciju 4.
Okomitost dviju ravnina
- Dvije su ravnine okomite ako jedna od tih ravnina sadrži barem jedan pravac koji je okomit na drugu ravninu.
Tu činjenicu možemo i ovako zapisati: \({\small \Sigma_1\perp\Sigma_2\Longleftrightarrow \exists p\subset \Sigma_1,\,\, p\perp\Sigma_2}\)
Relacija okomitosti je simetrična, odnosno ako je \({\small \Sigma_1\perp\Sigma_2}\), onda je i \({\small \Sigma_2\perp\Sigma_1}\). Stoga i u ravnini \({\small \Sigma_2}\) postoji pravac koji je okomit na ravninu \({\small \Sigma_1}\). Štoviše, ako su dvije ravnine okomite, tada svaka od njih sadrži beskonačno mnogo pravaca (pramen paralelnih pravaca) koji su okomiti na drugu ravninu.
Ortogonalna projekcija
- Ortogonalna projekcija \({\small T_p}\), točke \({\small T}\) na pravac \({\small p}\), sjecište je pravca \({\small p}\) i okomice iz \({\small T}\) na \({\small p}\) koja leži u ravnini određenoj s \({\small T}\) i \({\small p}\). Ako \({\small T}\) leži na pravcu \({\small p}\), onda je \({\small T_p=T}\).
- Ortogonalna projekcija \({\small T_\Sigma}\), točke \({\small T}\) na ravninu \({\small \Sigma}\), probodište je ravnine \({\small \Sigma}\) i pravca koji prolazi točkom \({\small T}\), a okomit je na \({\small \Sigma}\). Ako \({\small T}\) leži u ravnini \({\small \Sigma}\), onda je \({\small T_\Sigma=T}\).
- Ortogonalna projekcija \({\small p_\Sigma}\), pravca \({\small p}\) na ravninu \({\small \Sigma}\), skup je ortogonalnih projekcija svih točaka pravca \({\small p}\) na ravninu \({\small \Sigma}\). Ako je pravac \({\small p}\) okomit na ravninu \({\small \Sigma}\), onda je njegova ortogonalna projekcija točka (\({\small T_\Sigma = p\cap \Sigma}\)). U svim ostalim slučajevima \({\small p_\Sigma}\) je pravac. Ako pravac \({\small p}\) leži u ravnini \({\small \Sigma}\), onda je \({\small p_\Sigma=p}\).
na pravac
na ravninu
na ravninu
Kut između pravca i ravnine
Za pravac koji nije okomit na ravninu vrijedi:
- Kut između pravca i ravnine jednak je kutu između pravca i njegove ortogonalne projekcije na tu ravninu - \({\small \angle (p,\Sigma)=\angle (p,p_\Sigma)}\).
Sasvim je razumljivo da ako pravac leži u ravnini ili je s njom paralelan, kut između pravca i ravnine je \({\small 0^\circ}\). Ako je pravac okomit na ravninu, kut između njih je \({\small 90^\circ}\).
Kut između dvije ravnine
- Kut između paralelnih ravnina je \({\small 0^\circ}\).
Kao definiciju kuta između dvije ravnine koje se sijeku možemo odabrati jednu od sljedeće dvije izjave:
- Kut između dviju ravnina koje se sijeku jednak je kutu između bilo koja dva pravca koji leže u tim ravninama (po jedan u svakoj od njih), a okomiti su na njihovu presječnicu.
- Kut između dviju ravnina koje se sijeku, jednak je kutu između njihovih normala.
ravnini okomitoj na presječnicu danih ravnina
između njihovih normala
Udaljenost
Udaljenost između dviju točaka
Mjerenje udaljenosti između dviju točaka \({\small T_1}\) i \({\small T_2}\) vjerojatno je prvo mjerenje s kojim ste se u životu susreli.
Ta je udaljenost jednaka duljini dužine kojoj su krajevi točke \({\small T_1}\) i \({\small T_2}\).
Broj koji izražava tu udaljenost označavamo \({\small d(T_1,T_2)}\).
Ako je \({\small T_1=T_2}\), onda je \({\small d(T_1,T_2)=0}\).
Udaljenost između dva skupa točaka
Udaljenost dva skupa točaka \(\mathrm A\) i \(\mathrm B\) je najkraća udaljenost među točkama tih skupova.
\({\small d(}\)\(\mathrm{A, B}\)\({\small) = \mathrm{min} \{d(A,B) | A\in}\)\( \mathrm A\), \({\small B\in}\)\(\mathrm B\)\({\small \}}\).
Udaljenost između točke i pravca
Udaljenost između točke \({\small T}\) i pravca \({\small p}\) je udaljenost točke \({\small T}\) od njezine ortogonalne projekcije na taj pravac, dakle \({\small d(T,p) = d(T,T_p)}\).
Udaljenost između točke i ravnine
Udaljenost između točke \({\small T}\) i ravnine \({\small \Sigma}\) je udaljenost točke \({\small T}\) od njezine ortogonalne projekcije na tu ravninu, odnosno \({\small d(T,\Sigma) = d(T,T_\Sigma)}\).
Udaljenost između dva pravca
- Ako se pravci sijeku, njihova je udaljenost \({\small 0}\).
- Ako su pravci paralelni, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke prvog pravca od njezine ortogonalne projekcije na drugi pravac.
- Udaljenost mimosmjernih pravaca jednaka je udaljenosti njihovih sjecišta sa zajedničkom normalom.
Naime, za svaka dva mimosmjerna pravca postoji jedinstveni pravac koji ih siječe i na svakog je okomit. Takav pravac nazivamo zajedničkom normalom mimosmjernih pravaca.
Udaljenost između pravca i ravnine
- Ako se pravac i ravnina sijeku, njihova je udaljenost \({\small 0}\).
- Ako je pravac paralelan s ravninom, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke pravca od njezine ortogonalne projekcije na tu ravninu.
Udaljenost između dvije ravnine
- Ako se ravnine sijeku, njihova je udaljenost \({\small 0}\).
- Ako su ravnine paralelne, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke prve ravnine od njezine ortogonalne projekcije na drugu ravninu.