Izvodeći redom korake na interaktivnoj slici 18 i prateći popratne komentare, istražit ćemo osnovna svojstva perspektivne kolineacije (primjerice s kojim je elementima ona jednoznačno određena) te prikazati osnovnu konstrukciju para perspektivno kolinearno pridruženih točaka.

Na interaktivnoj slici 18 točka \({\small S}\) je središte, a pravac \({\small o}\) je os perspektivne kolineacije. \({\small A_1}\) je bilo koja točka ravnine. Jedino što o njoj znamo jest da nije fiksna.

Interaktivna slika 18

1. korak: Spojnica točaka \({\small S}\) i \({\small A_1}\) preslikava se sama u sebe, jer sadrži dvije fiksne točke (\({\small S}\)
i \({\small X}\)). Nazivamo je zrakom kolineacije. Zbog kolinearnosti preslikavanja točka \({\small A_2}\), pridružena točki \({\small A_1}\), mora ležati na toj zraci.

2. korak: Odabrali smo točku \({\small A_2}\) na zraci. To može biti bilo koja točka osim \({\small S}\), \({\small X}\) ili \({\small A_1}\).

3. korak: \({\small B_1}\) je bilo koja daljnja točka ravnine. Možemo li iz zadanih elemenata odrediti točku \({\small B_2}\), perspektivno kolinearnu sliku točke \({\small B_1}\)?

4. korak: \({\small B_2}\) mora ležati na zraci točke \({\small B_1}\).

5. korak: Uočite pravac \({\small p_1}\), spojnicu \({\small A_1}\)\({\small B_1}\).

6. korak: Pravac \({\small p_2}\), zbog kolinearnosti, prolazi kroz \({\small A_2}\) i siječe os u istoj točki kao i pravac \({\small p_1}\).

7. korak: Točka \({\small B_2}\) je jedinstveno sjecište zrake točke \({\small B_1}\) i pravca \({\small p_2}\).

Pomičite sada točku \({\small B_1}\) na interaktivnoj slici 18 i uočite kako konstrukcija točke \({\small B_2}\) ne ovisi o njezinu položaju, odnosno da se tom konstrukcijom može odrediti perspektivno kolinearna slika bilo koje točke ravnine.

Pomaknite točku \({\small A_2}\) na zraci (odabranu po volji) i uočite kako taj pomak mijenja položaj točke \({\small B_2}\), slike točke \({\small B_1}\). Dakle, odabirom točke \({\small A_2}\) u cijelosti smo odredili perspektivno kolinearno preslikavanje.

Osnovna svojstva perspektivne kolineacije

  • Svi pravci koji prolaze središtem kolineacije preslikavaju se sami u sebe. Nazivamo ih zrakama perspektivne kolineacije.
  • Parovi perspektivno kolinearno pridruženih točaka leže na zrakama perspektivne kolineacije.
  • Parovi perspektivno kolinearno pridruženih pravaca sijeku se na osi perspektivne kolineacije.
    Stoga se pravac koji je paralelan s osi, preslikava u pravac koji je također paralelan s osi.

Svaka je perspektivna kolineacija jednoznačno određena svojim središtem \({\small S}\), osi \({\small o}\) i jednim parom pridruženih točaka \({\small A_1}\), \({\small A_2}\). Takav ćemo način zadavanja perspektivne kolineacije označavati sa (\({\small S}\),\({\small o}\),\({\small A_1}\),\({\small A_2}\)).

Pritom za odredbeni par pridruženih točaka možemo odabrati bilo koji par koji je pridružen u toj perspektivnoj kolineaciji.

Na primjer, za perspektivnu kolineaciju na interaktivnoj slici 18 vrijedi (\({\small S}\),\({\small o}\),\({\small A_1}\),\({\small A_2})= ({\small S}\),\({\small o}\),\({\small B_1}\),\({\small B_2}\)).

Provjerite to na sljedeći način: Isključite sve prozorčiće osim onih uz 3., 4. i 7. korak. Sada je perspektivna kolineacija zadana s četvorkom (\({\small S}\),\({\small o}\),\({\small B_1}\),\({\small B_2}\)). Daljnje uključivanje prozorčića redom uz 1., 5., 6. i 2. korak, daje konstrukciju točke \({\small A_2}\) koja je perspektivno kolinearna slika točke \({\small A_1}\).